Английский математик Джордж Буль (1815-1864) стремился придать символическую форму Аристотельской системы логики. Буль написал трактат по этому вопросу в 1854 году под названием «Исследование законов мысли», на котором были основаны математические теории логики и вероятностей, которые кодифицировали несколько правил соотношения между математическими величинами, ограниченными одним из двух возможных значений: истина или ложь, 1 или 0. Его математическая система стала известна как булева алгебра. Все арифметические операции, выполняемые с булевыми величинами, имеют только один из двух возможных результатов: либо 1, либо 0. Нет такой вещи, как ‖ 2 ‖ или ‖ -1 ‖ или ‖ 1/2 ‖в булевом мире. Это мир, в котором все другие возможности недействительны. Как можно догадаться, это не та математика, которую вы хотите использовать, балансируя контрольную книгу или вычисляя ток через резистор.
Тем не менее, Клод Шэннон из славы MIT признал, что булеву алгебру можно применять к схемам включения и выключения, где все сигналы характеризуются либо ‖ высоким ‖ (1), либо ‖ низким ‖ (0). Он в 1938 написал диссертацию под названием символически анализа реле и коммутационные схемы, использовать Булеву алгебру. Буль никогда не мог себе представить, что дает нам мощный математический инструмент для проектирования и анализа цифровых схем.
Поскольку им разрешено иметь только одно из двух возможных значений: либо 1, либо 0, каждая переменная имеет дополнение: противоположность ее значения. Например, если переменная ‖ A ‖ имеет значение 0, то дополнение к A имеет значение 1. Булева нотация использует бар над символом переменной для обозначения дополнения, например:
В письменной форме дополнение ‖ A ‖ обозначается как ‖ A-not ‖ или ‖ A-bar ‖ . Иногда ‖ простой ‖ символ используется для обозначения комплементации. Например, A ‘ будет дополнением к A, почти таким же, как использование простого символа, чтобы обозначать дифференцирование в исчислении, а не дробную нотацию. Обычно, однако, символ ‖ bar ‖ находит более широкое применение, чем символ ‖ prime ‖ , по причинам, которые станут более очевидными позже в этой главе.